Все образы схожи, и все же ни один на другой не похож; Хоры их на тайный закон указуют, на святую загадку...
И. В. Гете. Метаморфоз растений.
ПОЧЕМУ МЫ ЗАГОВОРИЛИ О ФРАКТАЛАХ?
Во второй половине нашего века в естествознании произошли фундаментальные изменения, породившие так называемую теорию самоорганизации, или синергетику. Она родилась внезапно, как бы на скрещении нескольких линий научного исследования. Один из решающих начальных импульсов был предан ей российскими учеными на рубеже пятидесятых - шестидесятых годов. В пятидесятых годах ученый химик-аналитик Б. П. Белоусов открыл окислительно-восстановительную химическую реакцию. Открытие и изучение автоколебаний и автоволн в ходе реакции Белоусова
С. Э. Шнолем, А. М. Жаботинским, В.И. Кринским, А. Н. Заикиным, Г. Р. Иваницким- едва ли не самая блестящая страница фундаментальной российской науки в послевоенный период. Быстрое и успешное изучение реакции Белоусова - Жаботинского сработало в науке как спусковой крючок: сразу вспомнили, что и раньше были известны процессы подобного рода и что многие природные явления, начиная от образования галактик до смерчей, циклонов и игры света на отражающих поверхностях( так называемых каустиках), - по сути дела процессы самоорганизации. Они могут иметь самую различную природу: химическую, механическую, оптическую, электрическую и тому подобное. Более того, оказалось, что уже давно была готова и прекрасно разработана математическая теория самоорганизации. Ее основу заложили работы А. Пуанкаре и А. А. Ляпунова еще в конце прошлого века. Диссертация "Об устойчивости движения" написана Ляпуновым в 1892 году.
Математическая теория самоорганизации заставляет нас по-новому взглянуть на окружающий нас мир. Объясним, чем она отличается от классического мировоззрения, так как нам это будет необходимо знать при изучении фрактальных объектов.
"Классическое однозначно - детерминистическое мировоззрение может символизироваться ровной гладкой поверхностью, на которой соударяются шары, получившие определенный количества движения. Будущая судьба каждого такого тела однозначно определена его "прошлым" в предыдущий момент времени (количеством движения, зарядом) и взаимодействием с другими телами. Никакой целостностью такая система не обладает." ( Л. Белоусов. Посланники живой грозы. \\ Знание- сила. N 2. 1996. - с.32). Таким образом, классическая наука верила, что будущее такой системы жестко и однозначно определено ее прошлым и, при условии знания прошлого, неограниченно предсказуемо.
Современная математика показала, что в некоторых случаях это не так: например, если шары ударяются о выпуклую стенку, то ничтожно малые различия в их траекториях будут неограниченно нарастать, так что поведение системы становиться в определенный момент непредсказуемым. Тем самым позиции однозначного детерминизма оказались подорванными даже в сравнительно простых ситуациях.
Мировоззрение, основанное на теории самоорганизации, символизируется образом горной страны с долинами, по которым текут реки, и хребтами-водоразделами. В этой стране действуют мощные обратные связи - как отрицательные, так и положительные. Если тело скатывается вниз по склону, то между его скоростью и положением существует положительная обратная связь, если оно пытается взобраться вверх, то отрицательная. Нелинейные (достаточно сильные) обратные связи – непременное условие самоорганизации. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей эволюции, наличие выбора из альтернативных путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Например, рассмотрим взаимодействие двух тел: А и В. В – упругий древесный ствол, А – горный поток в нашей стране. Поток сгибает ствол по направлению движения воды, но по достижении некоторого изгиба ствол под действием упругой силы может распрямиться, отталкивая частицы воды обратно. То есть мы видим альтернативу взаимодействия двух тел А и В. Причем, это взаимодействие происходит таким образом, что связь А-В - положительна, а В-А - отрицательна. Соблюдается условие нелинейности.
Более того, в теории самоорганизации мы можем заставить нашу горную страну "жить", то есть изменяться во времени. При этом важно выделить переменные различного порядка. Такая иерархия переменных по времени является необходимым условием упорядочения самоорганизации. Нарушьте ее, "смешайте" времена- наступит хаос(пример- землетрясение, когда сдвиги геологического порядка происходят за считанные минуты, а должны- за несколько тысячелетий).Впрочем, как выявляется, живые системы не так уж и боятся хаоса: они все время живут на его пределе, иногда даже впадая в него, но все же умеют, когда надо, из него выбираться. При этом самыми важными оказываются наиболее медленные по времени переменные (их называют параметрами). Именно значения параметров определяют, каким набором устойчивых решений будет обладать система и, таким образом, какие структуры могут быть в ней вообще реализованы. В то же время более быстрые
(динамические) переменные отвечают за конкретный выбор реализуемых устойчивых состояний из числа возможных.
Принципы нелинейности и альтернативы выбора развития любого процесса, развития системы реализуется и при построении фракталов.
Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба.
Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем предсказать его, зная прошлое объекта( исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие.
Что же нам дает применение фракталов?
Они позволяют намного упростить сложные процессы и объекты, что очень важно для моделирования. Позволяют описать нестабильные системы и процессы и, самое главное, предсказать будущее таких объектов.
I РАЗДЕЛ
ТЕОРИЯ ФРАКТАЛОВ
ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ
Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов на стыке математики, информатики, лингвистики и биологии. В то время компьютеры все больше проникали в жизнь людей, ученые начинали применять их в своих исследованиях, росло число пользователей вычислительных машин. Для массового использования компьютеров необходимо стало облегчить процесс общения человека с машиной. Если в самом начале компьютерной эры немногочисленные программисты-пользователи самоотверженно вводили команды в машинных кодах и получали результаты в виде бесконечных лент бумаги, то при массовом и загруженном режиме использования компьютеров возникла необходимость в изобретении такого языка программирования, который был бы понятен для машины, и в то же время, был бы прост в изучении и применении. То есть пользователю требовалось бы ввести только одну команду, а компьютер разложил бы ее на более простые, и выполнил бы уже их. Чтобы облегчить написание трансляторов, на стыке информатики и лингвистики возникла теория фракталов, позволяющая строго задавать взаимоотношения между алгоритмическими языками. А датский математик и биолог А. Линденмеер придумал в 1968 году одну такую грамматику, названную им L-системой, которая, как он полагал, моделирует также рост живых организмов, в особенности образование кустов и веток у растений.
Вот как выглядит его модель. Задают алфавит - произвольный набор символов. Выделяют одно, начальное слово, называемое аксиомой, - можно считать, что оно соответствует исходному состоянию организма – зародышу. А потом описывают правила замены каждого символа алфавита определенным набором символов, то есть задают закон развития зародыша. Действуют правила так: прочитываем по порядку каждый символ аксиомы и заменяем его на слово, указанное в правиле замены.
Таким образом, прочитав аксиому один раз, мы получаем новую строку символов, к которой снова применяем ту же процедуру. Шаг за шагом возникает все более длинная строка – каждый из таких шагов можно считать одной из последовательных стадий развития «организма». Ограничив число шагов, определяют, когда развития считается законченным.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРИИ ФРАКТАЛОВ
Отцом фракталов по праву можно считать Бенуа Мандельброта. Мандельброт является изобретателем термина «фрактал». Мандельброт писал: « Я придумал слово «фрактал», взяв за основу латинское прилагательное «fractus», означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный». Первое определение фракталам также дал Б. Мандельброт:
Фрактал – самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.
На сегодняшний день существует много различных математических моделей фракталов. Отличительная особенность каждой из них является то, что в их основе лежит какая-либо рекурсивная функция, например: xi=f(xi-1). С применением ЭВМ у исследователей появилась возможность получать графические изображения фракталов. Простейшие модели не требуют больших вычислений и их можно реализовать прямо на уроке информатики, тогда как иные модели настолько требовательны к мощности компьютера, что их реализация осуществляется с применением суперЭВМ. Кстати, в США изучением фрактальных моделей занимается Национальных Центр Приложений для Суперкомпьютеров (NCSA). В данной работе мы хотим показать только несколько моделей фракталов, которые нам удалось получить.
1. Модель Мандельброта.
Бенуа Мандельброт предложил модель фрактала, которая уже стала классической и часто используется для демонстрации как типичного примера самого фрактала, так и для демонстрации красоты фракталов, которая также привлекает исследователей, художников, просто интересующихся людей.
Математическое описание модели следующее: на комплексной плоскости в неком интервале для каждой точки с вычисляется рекурсивная функция Z=Z2+c. Казалось бы, что такого особенного в этой функции? Но после N повторений данной процедуры вычисления координат точек, на комплексной плоскости появляется удивительно красивая фигура, чем-то напоминающая грушу.
В модели Мандельброта изменяющимся фактором является начальная точка с, а параметр z, является зависимым. Поэтому для построения фрактала Мандельброта существует правило: начальное значение z равно нулю (z=0)! Это ограничение вводится для того, чтобы первая производная от функции z в начальной точке была равна нулю. А это означает, что в начальной точке функция имеет минимум, и в дальнейшем она будет принимать только большие значения.
Мы хотим заметить, что если рекурсивная формула фрактала имеет другой вид, то тогда следует выбирать другое значение начальной точки для параметра Z. Например, если формула имеет вид z=z2+z+c, то начальная точка будет равна:
2*z+1=0 Ю z= -1/2.
В данной работе мы имеем возможность привести изображения фракталов, которые были построены в NCSA.
Рис.1 Фрактал Мандельброта
Вам уже известна математическая модель фрактала Мандельброта. Теперь мы покажем, как она реализуется графически. Начальная точка модели равна нулю. Графически она соответствует центру тела “груши”. Через N шагов заполнятся все тело груши и в том месте, где закончилась последняя итерация, начинает образовываться «голова» фрактала. «Голова» фрактала будет ровно в четыре раза меньше тела, так как математическая формула фрактала представляет из себя квадратный полином. Затем опять через N итераций у «тела» начинает образовываться «почка» (справа и слева от «тела»). И так далее. Чем больше задано числе итераций N, тем более детальным получится изображение фрактала, тем больше будет у него различных отростков. Схематическое изображение стадий роста фрактала Мандельброта представлено на рис.2:
Финансовый рынок в развитых странах мира существует уже не одну сотню лет. На протяжении веков люди продавали и покупали ценные бумаги. Данный вид сделок с ценными бумагами приносил участникам рынка доход из-за того, что цены на акции и облигации все время варьировали, постоянно менялись. В течение веков люди покупали ценные бумаги по одной цене и продавали, когда они становились дороже. Но иногда ожидания покупателя не сбывались и цены на купленные бумаги начинали падать, таким образом, он не только не получал доход, а еще и терпел убытки. Очень долгое время никто не задумывался, почему так происходит: цена то растет, то падает. Люди просто видели результат действия и не задумывались о причинно-следственном механизме, его порождающем.
Так происходило до тех пор, пока американский финансист, один из издателей известной газеты «Financial Times”, Чарльз Доу не опубликовал ряд статей, в которых он излагал свои взгляды на функционирование финансового рынка. Доу заметил, что цены на акции подвержены циклическим колебаниям: после продолжительного роста следует продолжительное падение, потом опять рост и падение. Таким образом, Чарльз Доу впервые заметил, что можно прогнозировать дальнейшее поведение цены на акции, если известно ее направление за какой-то последний период. Впоследствии на основе сделанных Ч.Доу открытий была разработана целая теория технического анализа финансового рынка, которая получила название Теория Доу. Эта теория ведет свое начало с девяностых годов девятнадцатого века, когда Ч.Доу опубликовал свои статьи.
Технический анализ рынков - это методы прогнозирования дальнейшего поведения тренда цены, основанные на знании предыстории его поведения. Технический анализ для прогнозирования использует математические свойства трендов, а не экономические показатели ценных бумаг.
В середине века двадцатого, когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, другой известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов.
Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.
Мрак первозданный. Тишина. Вдруг луч, Пробившийся над рваным краем туч, Ваяет из небытия слепого Вершины, склоны, пропасти, хребты, И твердость скал творя из пустоты, И невесомость неба голубого.
Герман Гессе. «Игра в бисер»
В настоящее время информационное пространство в целом, ввиду его объемов и динамики изменения, принято рассматривать как стохастическое. Во многих моделях информационного пространства изучаются структурные связи между тематическими множествами, входящими в это пространство. При этом численные характеристики этих множеств подчиняются гиперболическому закону (с возможными степенными поправками). Сегодня в моделировании информационного пространства все чаще используется фрактальный подход, базирующийся на свойстве самоподобия информационного пространства, т.е. сохранение внутренней структуры множеств при изменениях их размеров или масштабов их рассмотрения извне.
Самоподобие информационного пространства выражается, прежде всего в том, что при его лавинообразном росте в последние десятилетия, частотные и ранговые распределения, получаемые в таких разрезах, как источники, авторы, тематика практически не меняют своей формы. Поэтому применение теории фракталов при анализе информационного пространства позволяет с общей позиции взглянуть на закономерности, составляющие основы информатики. Например, тематические информационные массивы сегодня представляют развивающиеся самоподобные структуры, которые по своей сути являются стохастическими фракталами, так как их самоподобие справедливо на лишь уровне математических ожиданий, например, распределения кластеров по размерам.
В информационном пространстве возникают, формируются, растут и размножаются кластеры – группы взаимосвязанных документов. Системы, основанные на кластерном анализе, самостоятельно выявляют новые признаки объектов и распределяют объекты по новым группам. Не так давно в Интернет появился сервис Touchgraph (www.touchgraph.com), который наглядно демонстрирует появление кластерных образований, сформированных подобием информационных объектов, в частности, Web-сайтов (Touchgraph Google Browser). Ниже представлен пример такой визуализации:
Объединение Web-сайтов по признаку подобия
Чем же определяется природа фрактальной структуры информационного пространства, порождаемым такими кластерными структурами? С одной стороны, параметрами ранговых распределений, а, с другой стороны, механизмом развития информационных кластеров, который отражает природу информационного пространства. Появление новых публикаций увеличивает размерность уже существующих кластеров и является причиной образования новых.
Фрактальные свойства характерны для кластеров информационных Web-сайтов, на которых публикуются документы, соответствующие определенным тематикам. Эти кластеры, как наборы тематических документов, представляют собой фрактальные структуры, обладающие рядом уникальных свойств. Например, российскими исследователями (С. Иванов и др.), определена фрактальная размерность подобных информационных массивов, изменяющаяся в пределах от 1.05 до 1.50, что свидетельствует о небольшой плотности заполнения кластеров документами по одной теме.
Как один из основных законов отражающих самоподобие информационного пространства можно назвать закон Зипфа. В 1949 году профессор филологии из Гарварда Дж. Зипф собрал достаточный статистический материал, и экспериментально показал, что распределение слов естественного языка подчиняется закону: “Если к какому-либо достаточно большому тексту составить список всех встретившихся в нем слов, а затем ранжировать эти слова, т.е. расположить их в порядке убывания частоты встречаемости в данном тексте и пронумеровать в возрастающем порядке, то для любого слова произведение его порядкового номера (ранга) этом списке и частоты его встречаемости в тексте будет величиной постоянной.” Ученый описал обнаруженную им закономерность распределения слов в текстах на английском языке: • небольшое количество слов, таких как "the", "and" в английском языке, которые имеют очень высокий ранг; • среднее количество слов имеет средний ранг; • большое количество слов имеет очень низкий ранг. Таким образом: f * r = c, где f - частота встречаемости слова в тексте; r - ранг (порядковый номер) слова в списке; с - эмпирическая постоянная величина. Так, например, для английских текстов константа Зипфа равна приблизительно 0,1. Для русского и украинского языков коэффициенты Зипфа составляю приблизительно 0,06-0,07.
Существуют также закономерности, открытые другими ученными (прежде всего, Брэдфордом - для периодических изданий и Лотки – для распределения авторов), являющиеся уточняющими следствиями закономерностей Зипфа, и также свидетельствующими о самоподобии информационного пространства.
Теория фракталов тесно связана с кластерным анализом, решающим задачу выделения компактных групп объектов с близкими свойствами. Кластеризация сегодня применяется при реферировании больших документальных массивов, определении взаимосвязанных групп документов, для упрощения процесса просмотра при поиске необходимой информации, нахождения уникальных документов из коллекции, выявления дубликатов или близких по содержанию документов.
Фрактальный принцип самоподобия предполагает бесконечное дробление набора объектов с сохранением их свойств. В тематических информационных потоках, например, можно наблюдать подобие сюжетных цепочек, получаемых при уточнении запроса (конечно в определенных рамках). Вместе с тем, сегодня многими исследователями рассматривается не дробление, а естественный рост размеров информационного пространства.
Свойства самоподобия фрагментов информационного пространства наглядно демонстрирует новый интерфейс представленный на веб-сайте службы News Is Free (http://newsisfree.com). На этом сайте отображается состояние информационного пространства в виде ссылок на источники и отдельные сообщения. При этом учитывается два основных параметра отображения – ранг популярности и «свежесть» информации. В рамках этой модели можно наблюдать «дробление» групп источников при увеличении ранга популярности и «свежести» изданий. Когда этот ранг становится достаточно высоким, дробление не позволяет без особых усилий читать названия источников и идентифицировать отдельные документы.
Игорь!!!!!!!Вот прощаюсь я стобой и никак не могу проститься))) Вот !!
Прочитала я эти сообщения. И ты знаешь Игорь - прости, но можнно сломать голову - честно и открыто скажу тебе. Ты обьясни это с точки зрения своими глазами - с точки зрения своего прожитого, а так Игорь - это мертвая пустошь!!!! Легче промолчать, обойти, - лучше сказать, я вижу это так!
Прочитала я эти сообщения. И ты знаешь Игорь - прости, но можно сломать голову - честно и открыто скажу тебе. Ты объясни это с точки зрения своими глазами - с точки зрения своего прожитого, а так Игорь - это мертвая пустошь!!!! Легче промолчать, обойти, - лучше сказать, я вижу это так!
Так это же замечательно, что ты прямо и открыто говоришь о своём восприятии. И я с тобой согласен, что такого рода материал, как и всякий, пожалуй требует личного и непосредственного комментария. Только это не "мёртвая пустошь", это информация которую я поставил для ознакомления с таким понятием как фракталы. Что для меня фрактал, как понимаю это я. Вот возьмём к примеру цифры, их энергетическое содержание. Допустим 2, это же две единицы, но энергетика и значение цифры отличается, двойка это не две единицы взятые по отдельно, так же и тройка, это три единицы но новое качество и смысл, хотя основа та же, вот так развиваются фракталы, имея одну основу и меняясь и оставаясь при этом отдельным объектом. Мало того, все цифры оставаясь отдельными и самостоятельными могут складываться в десятки и сотни - образуя новые значения в случайных сочетаниях. Вот в этом свойство фракталов, которые есть самоорганизующиеся структуры в среде хаоса, среде не имеющей организации. Фракталы это механизм передачи кармических накоплений, фракталы это принцип развития ПО ПОДОБИЮ, заложенный в нас Богом.
Волна, Ирин, даётся информационный пласт к размышлению. Нам нужно включиться в ознакомление, анализ и осознание. Вот для этого и даются многие информационные темы на форуме. И каждый, кому интересно может выписать что отозвалось, что можно обсудить именно в диалоге. Так, пропустив через себя, отразим своё вИдение для других. У тутового шелкопряда при переработке листьев на выходе- шёлковая ниточка. А что у нас - посмотрим)))
vinsent,
Quote
Как стало ясно в последние десятилетия (в связи с развитием теории самоорганизации), самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба.
Думаю что фракталы в нашей жизни являются в примере рода, семьи. Наши дети, внуки- продолжение нас, наших родителей, дедов, т.д. Что повторяется?- генетические особенности, способности (наследственность), улавливается похожесть как внешняя так и характерная различными проявлениями психотипов, темперамента и прочих особенностей.
Quote
Таким образом, можно сказать, что фракталы как модели применяются в том случае, когда реальный объект нельзя представить в виде классических моделей. А это значит, что мы имеем дело с нелинейными связями и недетерминированной природой данных. Нелинейность в мировоззренческом смысле означает многовариантность путей развития, наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а также необратимость эволюционных процессов. Нелинейность в математическом смысле означает, определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды. То есть, когда мы применяем классические модели (например, трендовые, регрессионные и т. д.), мы говорим, что будущее объекта однозначно детерминированное. И мы можем предсказать его, зная прошлое объекта( исходные данные для моделирования). А фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент. То есть мы пытаемся смоделировать хаотичное развитие.
Многовариантность в проявлении человека, его выборе- очевидна. Что являет доказательством свободы выбора, свободы самореализации и возможность выхода из любой сложившейся жизненной ситуации,- её улучшение и изменения вектора направления в созидательное русло. Направленность приобретает в геометрической прогрессии развитие на подобии голограммного строения. Эволюционирование человека возможно и то, что природа это проявляет и показывает аналогию отображения малого в великом и великого в малом есть большой информационный пласт для обучения, принятия к сведению и моделирования ситуаций, для определения в выборе, поступках. Всё изначально заложено в природе. Развивать эти качества в себе- наша внутренняя работа.
Следуя наставлениям наставника иследовать любое явление в свете голограмного принципа строения Вселенной, макро и микрокосмоса, здесь как раз подтверждается голографический принцип строения Вселенной, в соответствии с 10ю универсальными. Законами космоса "множественности в единстве и единства во множественности", "закона аналогии", закона иерархии, закона цикличности и взаимопроникаемости. Как это может помочь? А хотябы попробовать применить этот же принцип в чтении Евангелия. Вот к примеру сегодняшний отрывок читаемый на Литургии ярко иллюстрирует принцип в основе которого лежит голограмма: Послание к Римлянам святого апостола Павла Глава 5.
17Ибо если преступлением одного смерть царствовала посредством одного, то тем более приемлющие обилие благодати и дар праведности будут царствовать в жизни посредством единого Иисуса Христа.
18Посему, как преступлением одного всем человекам осуждение, так правдою одного всем человекам оправдание к жизни.
19Ибо, как непослушанием одного человека сделались многие грешными, так и послушанием одного сделаются праведными многие.
20Закон же пришел после, и таким образом умножилось преступление. А когда умножился грех, стала преизобиловать благодать, 21дабы, как грех царствовал к смерти, так и благодать воцарилась через праведность к жизни вечной Иисусом Христом, Господом нашим.
Глава 6.
1Что же скажем? оставаться ли нам в грехе, чтобы умножилась благодать? Никак.
Лен я тебя прекрасно поняла. Чтобы понять ту или иную тему лично мне - ну ты понимаешь, что люди ведь разные - нужно ознакомится с ней во всех понятиях, я посмотрела в инете кое - что . Просмотрела вещи на данную тему - немножко поняла, что это такое. Но его чтобы закрепить нужно применить в жизни - вот тогда будет толк. Как ты думаешь?
На семинаре Ольга советовала тем кто хочет лучше понять что такое фракталы- посмотреть коридор отражений в зеркалах поставленных друг против друга. Тогда я поняла почему в детстве я так любила рассматривать эти отражения коридоров в триляже (кажется так называлось наше большое зеркало с двумя боковыми створками меньших зеркал). Честно говоря затягивало в ту глубь, где отражения в тунеле доходили до точки....
самоподобие встречается в самых разных предметах и явлениях. Например, самоподобие можно наблюдать в ветках деревьев и кустарников, при делении оплодотворенной зиготы, снежинках, кристаллах льда, при развитии экономических систем (волны Кондратьева), строении горных систем, в строении облаков. Все перечисленные объекты и другие, подобные им по своей структуре, называются фрактальными. То есть они обладают свойствами самоподобия, или масштабной инвариантности. А это значит, что некоторые фрагменты их структуры строго повторяются через определенные пространственные промежутки. Очевидно, что эти объекты могут иметь любую природу, причем их вид и форма остаются неизменными независимо от масштаба. 
